BILANGAN BILANGAN

TRANSFORMASI • TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Sifat: • Objek yang digerakkan arahnya sama • Ukuran dan bentuk dengan Objek asal sama • Objek dan imej menghadap arah yang sama • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. • REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) SIFAT-SIFAT a. Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1 b. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. c. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: o Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. o Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. d. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. e. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: o Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. o Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. o Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. • ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) SIFAT-SIFAT a. Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1 b. Dua rotasi berturut-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. c. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. • DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1  A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1  A' terletak di antara O dan A c. k > 0  A' terletak pada perpanjangan AO Sifat : • berdasarkan atas faktor skala yang disimbolkan dengan "k" • apabila k : -1 < k< 0 maka garis tersebut di perkecil dengan arah berlawanan • apabila k : k < -1 maka garis tersebut diperbesar dengan arah berlawanan • apabila k bernilai + maka garis tersebut diperbesar searah JENIS BILANGAN BILANGAN CACAH Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif 10 angka pertama Bilangan Cacah adalah (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) BILANGAN ASLI Yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol (1,2,3,4,5,….). bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, sehingga wajar jika bilangan asli merupakan jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang dan menghitung. 10 angka pertama Bilangan Asli adalah (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) BILANGAN GENAP Bilangan Genap adalah bilangan yang habis dibagi 2 Contoh (2,4,6,8,....) 10 angka pertamanya adalah (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) BILANGAN GANJIL Bilangan Ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2 contoh (1,3,5,7,9,....) 10 angka pertamanya adalah (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19) BILANGAN PRIMA Merupakan bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu, dengan kata lain bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor, misalnya : 2,3,5,7,11,….. 10 angka pertamanya adalah(1,3,5,7,11,13,17,19,23,29) BILANGAN KOMPOSIT Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua. 10 angka pertamanya adalah (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18) BILANGAN PERSEGI bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …. Mengapa disebut pola bilangan persegi? Perhatikan pola bilangan pada gambar berikut. Ternyata banyaknya titik yang membentuk barisan persegi tersebut sama dengan cara mencari luas sebuah persegi, yaitu sisi x sisi. Maka untuk bilangan kesembilan dari pola tersebut adalah 81, didapat dari 9 x 9 = 81. Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan persegi adalah n x n 10 angka pertamnya adalah (1,4,9,16,25,36,49,64,64,100) BILANGAN SEGITIGA Bilangan Segitiga adalah bilangan yang jumlahnya dapat disusun membentuk Segitiga. Contohnya angka 3 dapat disusun dengan pola 2 lingkaran dan 1 lingkaran yang berada didepan tengah dari dua lingkaran sehingga jumlah lingkarannya 3 . Berikut Contoh Gambarnya Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan segitiga adalah 1/2 x n (n + 1) 10 angka pertamanya adalah (1,3,6,10,15,21,28,36,45,55)

Yohanes, Surat-Surat Yohanes [haag]

Yohanes (Surat-Surat Yohanes). Ketiga pucuk surat Yoh., yang jelas mempunyai persamaan satu dengan yang lainnya serta dengan injil Yoh. Juga memiliki kesamaan waktu tempat dan lingkungan. Meskipun demikian surat 1Yoh lebih dekat pada injil Yoh, sedangkan dari pihak lain surat 2 dan 3 berhubungan erat satu sama lain. (I). SURAT PERTAMA. (1) Isi dan tujuan. 1Yoh itu bukan surat (tidak ada kepala surat dan penutupnya). Bukan pula sebuah surat edaran (tanpa nama jemaat-jemaat yang dialamatkan), tetapi sebuah tulisan yang berdiri sendiri dan mengandung isi pewartaan imam (1Yoh 1:1-3) yang dipersatukan dengan pembelaan iman (1Yoh 4:4-6; 5:4-12) dan ditujukan pada suatu kelompok kristen tertentu ataupun pada beberapa jemaat kristen tertentu yang hidup di tengah dunia kafir yang dipengaruhi aliran gnostik. Di situ tidak dapat dilihat adanya sebuah susunan yang jelas. Meskipun demikian terungkaplah berbagai kesatuan lebih besar yang semuanya menjalin pada suatu persekutuan dengan Allah atas dasar kesatuan dengan Yesus Kristus dan pada persekutuan persaudaraan para kristen. Surat itu bermaksud memperingatkan ajaran-ajaran salah dan sekaligus menguatkan iman kepercayaan pembacanya.. Latar-belakang waktu yang tersirat di situ menunjukkan adanya suatu kemajuan besar tentang pembentukkan jemaat orang kristen. Penulis bicara sebagai saksi atas kejadian keselamatan (1Yoh 1:1-3) pada suatu keturunan, yang iman kepercayaannya hanya dapat bertumpu pada pendengaran (1Yoh 3:11). Oleh karena penulis menaruhkan nilai khusus pada perlunya Yesus menjelma jadi manusia, yang "datang dalam daging" (1Yoh 4:2), maka orang mengira, bahwa orang bidaah, yang disebutnya sebagai anti-Kristus (1Yoh 2:18) dan nabi palsu (1Yoh 4:1), adalah anggota sebuah aliran gnostik (: Doketisme). Aliran ini menjurus pada kerohanian yang murni dan pada suatu persatuan yang langsung dengan Allah tanpa manusia Yesus, tanpa persekutuan kasih dan tanpa hukum-hukum yang membebani kewajiban-kewajiban. (2) Penulis asli. Tanpa memperhatikan tambahan trinitaris yang disisipkan di waktu kemudian 1Yoh 5:7-8, yaitu yang disebut Comma Yohanneum, orang dapat menerima bahwa surat itu adalah sebuah karya dari satu orang penulis, meskipun ada perbedaan corak-corak tertentu (kalimat-kalimat apodiktis yang singkat di samping fasal prosais yang parenetis). Dengan adanya kemiripan yang dekat dengan Injil Yoh. mengenai harta kata-kata, corak, cara berpikir dan tema (: cahaya 1Yoh 1:5; keadilan 1Yoh 2:29; kasih 1Yoh 4:7; kebenaran 1Yoh 5:6 dan lain-lain), pada umumnya orang menganggap pada waktu sekarang, bahwa kedua tulisan itu mempunyai penulisan yang sama (: surat pertama dengan --> Injil Yoh). 1Yoh boleh diperkirakan timbul antara tahun 90 dan 110. (II). SURAT KEDUA DAN KETIGA. 2Yoh ditujukan pada "ibu yang terpilih", artinya suatu jemaat tertentu di Asia Kecil. Surat itu menggerakkan orang untuk melakukan kasih persaudaraan dan kesetiaan iman, sebaliknya memperingatkan perihal ajaran-ajaran salah. -- Surat 3Yoh ditujukan pada seorang tertentu dengan nama Gaius, yang dipujinya lantaran keramahannya dan diteguhkannya sikap Gaius itu terhadap pemimpin jemaat. Penulis kedua tulisan itu -- menurut panjangnya dan coraknya merupakan surat yang benar -- menamakan dirinya presbyter. Ia tampil sebagai pemegang kekuasaan. Barangkali ia adalah seorang murid Yohanes dan menyalurkan tradisi ajarannya. Seperti 1Yoh, maka surat-surat ini diperkirakan timbul sekitar tahun 100, namun baru masuk dalam daftar kanon pada abad 5.

Eugenio Beltrami

Eugenio Beltrami, adalah seorang seniman yang dilukis miniatures. Ayahnya telah datang dari sebuah keluarga seni, untuk ayah sendiri telah berukir batu berharga. Anak-anak muda yang Eugenio tentu mewarisi bakat seni dari keluarganya, namun dalam kasus di samping bakat matematika ia akan memperoleh, musik itu bukan lukisan yang menjadi penting dalam hidupnya. Beltrami belajar di Pavia dari 1853 ke 1856, dan ia diajar oleh Brioschi yang telah ditunjuk sebagai profesor matematika yang diterapkan di Universitas Pavia tahun sebelum Beltrami mulai membuat studinya. Beltrami akan berkeinginan untuk melanjutkan studi matematika namun dia menderita kesulitan keuangan sehingga pada 1856 ia harus menghentikan membuat studinya dan mengambil sebuah pekerjaan. Dia bekerja sebagai sekretaris untuk jalur kereta api dan insinyur pekerjaan ini membawanya ke Verona pertama dan kemudian ke Milan. Sementara itu di Milan Beltrami Kerajaan Italia didirikan pada 1861. Hal ini juga merupakan peristiwa politik penting yang tidak banyak untuk menguatkan ajaran adegan di Italia meskipun Italia yang nampaknya tidak mungkin dapat mencapai kemajuan ekonomi yang dibuat oleh negara-negara Eropa lainnya sejak lebih dari tiga perempat penduduk buta huruf dan sebagian besar telah terlibat didalam pertanian. Beltrami di Milan mulai bekerja keras di matematika dan penelitian lagi dia di 1862 itu diterbitkan pertama kertas. Dia ditunjuk untuk University of Bologna pada 1862 sebagai guru besar mengunjungi aljabar dan analisis geometri. Setelah dua tahun di Bologna, Beltrami menerima kursi dari geodesi di Universitas Pisa, yang diselenggarakan dari 1864 ke 1866. Pada Pisa dia menjadi ramah dengan Betti. Pada 1866 dia kembali ke Roma di mana beliau telah dilantik profesor dari mekanik rasional. Ketika Kerajaan Italia didirikan pada 1861 Torino adalah modal. Pada 1870 pasukan Italia memasuki Roma. Kota ini telah dilakukan oleh Paus dengan dukungan dari Perancis, tetapi setelah Napoleon III dan turun takhta dengan kekalahan, Perancis dukungan untuk terus Roma diuapkan. Baru Universitas Roma didirikan di Italia baru modal dan Beltrami diangkat ke kursi yang rasional mekanik ada di 1873. Setelah tiga tahun di Roma, untuk pindah Beltrami Pavia mengambil kursi yang ada dari matematika fisika. Namun, Beltrami kembali ke Roma pada 1891 dan menghabiskan tahun terakhir dia mengajar di sana. Dipengaruhi oleh Cremona, Lobachevsky, dan Gauss Riemann, Beltrami kontribusi untuk bekerja di diferensial geometri pada belokan dan permukaan. Dia diterjemahkan Gauss' s bekerja pada conformal perwakilan ke Italia. Dia kemudian dianggap masalah bila geodesics di permukaan dapat digambarkan sebagai garis lurus pada pesawat. Beltrami menunjukkan bahwa tidak semua geodesics dapat diwakili dengan cara ini dan kemudian ia pergi ke alam mempertimbangkan pertanyaan dari permukaan yang memiliki properti yang geodesics pada permukaan dapat digambarkan sebagai garis lurus pada pesawat. Jawaban-Nya sangat menyenangkan, untuk dia menemukan bahwa mereka justru permukaan lengkungan konstan. Beltrami kemudian dianggap konstan dari permukaan lengkungan negatif dan dipimpin kepada paling terkenal hasil 1868. 1868 kertas Esai-Nya pada sebuah interpretasi non-euclidean geometri yang memberikan realisasi konkret dari non-euclidean geometri dari Lobachevsky dan Bolyai dan menghubungkan dengan Riemann 's geometri. Realisasi konkret yang menggunakan pseudosphere, permukaan yang dihasilkan oleh revolusi dari tractrix mengenai berbagai asymptote. Beltrami di 1868 ini kertas tidak ditetapkan untuk membuktikan konsistensi tidak Geometri Euclidean atau kemerdekaan yang Euclidean paralel sbg. Apa yang telah dia menyarankan Bolyai dan Lobachevsky belum benar-benar baru diperkenalkan di semua konsep tetapi telah dijelaskan teori geodesics pada permukaan lengkungan negatif. Beltrami wrote di kertas ini: Kami telah mencoba untuk menemukan sebuah yayasan nyata untuk doktrin ini, daripada membuat ia mengakui untuk perlunya baru urutan badan dan konsep. Houel diterjemahkan baik Lobachevsky 's Beltrami dan kerja-kerja ke Perancis dan pada 1870 dia mengungkapkan Beltrami's kertas terbukti kemerdekaan yang Euclid' s paralel sbg. 1868 kertas yang harus muncul cepat tetapi tertunda dalam publikasi Cremona karena tidak puas sepenuhnya, yang berarti tidak berdasarkan surat edaran argumen. Cremona khawatir geometri euclidean telah digunakan untuk menjelaskan tidak Geometri euclidean dan ia melihat kemungkinan logis dalam kesulitan ini. Cremona adalah salah, tetapi ia khawatir disebabkan Beltrami untuk meletakkan karyanya di satu sisi untuk sementara waktu tetapi pekerjaan Riemann yakin bahwa metode Beltrami adalah suara. Beltrami juga bekerja di optik, termodinamika, elastisitas, listrik dan daya tarik. Nya kontribusi untuk topik ini muncul dalam empat volume kerja, Opere Matematiche (1902-20), diterbitkan anumerta. Beberapa karyanya fisik pada topik terkait dengan itu tidak Geometri euclidean untuk meneliti bagaimana ia gravitational potensi seperti yang diberikan oleh Newton harus diubah dalam ruang lengkungan negatif. Dia memberi generalisasi bentuk Laplace operator. Dalam Tazzioli memeriksa bagaimana Beltrami diferensial parameter digunakan ketika mempertimbangkan masalah di mekanik, elastisitas, dan potensi teori. Ia juga digunakan mereka dalam memberikan sedemikian dari Hijau 's Teorema. Beltrami secara tidak langsung dipengaruhi pengembangan tensor analisis dengan menyediakan dasar sebagai ide-Ricci dari Curbastro dan Levi-Civita pada topik. Beberapa Beltrami terakhir ini bekerja pada mekanis interpretasi Maxwell 's persamaan. Ada yang menarik dalam mengenai Beltrami's pemikiran ini topik yang terdapat dalam korespondensi dengan Cesàro beberapa yang di ulang. Salah satu surat-surat tersebut: ... (Tanggal Desember, 1888) adalah dikhususkan untuk mekanikal interpretasi Maxwell 's persamaan. Di sini, Beltrami menunjukkan bukti baru dari kondisi saat enam fungsi yang diberikan adalah komponen dari deformasi elastis. Terakhir kita harus menyebutkan sebuah kontribusi penting untuk Beltrami oleh sejarah matematika. Ini akan muncul dalam publikasi 1889 di Beltrami yang dibawa ke perhatian dari dunia matematika Saccheri 's 1733 dari studi paralel sbg. Dia dibandingkan Saccheri 's dengan hasil yang Borelli, Wallis, Clavius dan non-euclidean geometri dari Lobachevsky dan Bolyai. Beltrami dicapai peranan penting dalam matematika Italia, menjadi Presiden Accademia dei Lincei di 1898. Pada 1899 ia menjadi senator dari Kerajaan Italia.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Nikolai Ivanovich Lobachevsky Nikolai Ivanovich Lobachevsky (Bahasa Rusia: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский) (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856) adalah matematikawan Rusia. Ia terutama dikenal sebagai orang yang mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari hasil karya János Bolyai) yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode hampiran akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode Dandelin-Gräffe, dari nama dua matematikawan lain yang bekerja independen menemukan metode yang sama.